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0/0 型公式汇总

2026-10-18 3564 字 8 分钟
#数学#高数#极限

求极限最常撞上的就是 0/0。硬算往往越算越乱，真正好用的办法是“换”：把一个绕来绕去的无穷小，换成一个跟它跑得一样快的简单函数。所谓一样快，就是两者相除的极限等于 1——这样换掉，整个式子的极限值不会变。下面把常用的替换公式、什么时候能换、换完还算不出来怎么办，按顺序理一遍。

一、先搞清楚什么能换

定义：设 α,β\alpha,\beta 都是同一过程中的无穷小，若

lim⁡  αβ=1 \lim\;\frac{\alpha}{\beta}=1

就说 α\alpha 和 β\beta 是等价无穷小，记作 α∼β\alpha\sim\beta。直白点讲：两个都在往 0 跑，比值的极限是 1，说明它们跑向 0 的快慢一样。

替换定理：若 α∼α′\alpha \sim \alpha'，β∼β′\beta \sim \beta'，且 lim⁡(α′/β′)\lim(\alpha'/\beta') 存在，则

lim⁡  αβ=lim⁡  α′β′ \lim\;\frac{\alpha}{\beta}=\lim\;\frac{\alpha'}{\beta'}

关键限制：方便归方便，被换的东西必须整个待在乘或除的位置上。要是它夹在加号、减号旁边，就不能随手换——两个量各自的“零头”可能正好互相抵消，一抵消，原本可以忽略的误差就被放大成了结果。

一句话记：乘除随便换，加减要小心；首项抵消时必须往高阶展开。

二、基础表（x→0x \to 0）

先看最常用的一批。都是 x→0x\to 0 时的结论，右边那列不是要背的推导，而是帮你记住它的理由。

等价式记忆点
sin⁡x∼x\sin x \sim x最重要的一条，其余多由它推
tan⁡x∼x\tan x \sim xtan⁡x=sin⁡x/cos⁡x\tan x = \sin x/\cos x，cos⁡x→1\cos x \to 1
arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim x反函数，一阶不变
arctan⁡x∼x\arctan x \sim x同上
1−cos⁡x∼x221-\cos x \sim \dfrac{x^2}{2}二阶，因为一阶项抵消了
sec⁡x−1∼x22\sec x - 1 \sim \dfrac{x^2}{2}与 1−cos⁡x1-\cos x 同源
ex−1∼xe^x - 1 \sim x指数函数的切线就是 1+x1+x
ax−1∼xln⁡aa^x - 1 \sim x\ln a把 axa^x 写成 exln⁡ae^{x\ln a}
ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x) \sim xln⁡(1+x)\ln(1+x) 在 0 点的切线
log⁡a(1+x)∼xln⁡a\log_a(1+x) \sim \dfrac{x}{\ln a}换底即得
(1+x)α−1∼αx(1+x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x广义二项式，α\alpha 可为任意实数
1+xn−1∼xn\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \dfrac{x}{n}上一条取 α=1/n\alpha = 1/n
ln⁡(x+1+x2)∼x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim x反双曲正弦

这些式子都能用泰勒展开验证：它们就是各个函数在 x=0x=0 处第一个不为零的项。记不住的时候展开一下，自己就能推回来。

三、高阶表（x→0x \to 0，一阶抵消时用）

有些题一换就变成 0，别急着写答案——这多半说明一阶项已经互相抵消，得往下看一阶。下面这几条就是“一阶撞车”时用的：

等价式展开来源
tan⁡x−sin⁡x∼x32\tan x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{2}(x+x33)−(x−x36)\left(x+\frac{x^3}{3}\right)-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)
x−sin⁡x∼x36x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)
tan⁡x−x∼x33\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}tan⁡x=x+x33+o(x3)\tan x = x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)
x−arctan⁡x∼x33x - \arctan x \sim \dfrac{x^3}{3}arctan⁡x=x−x33+o(x3)\arctan x = x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)
arcsin⁡x−x∼x36\arcsin x - x \sim \dfrac{x^3}{6}arcsin⁡x=x+x36+o(x3)\arcsin x = x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)
x−ln⁡(1+x)∼x22x - \ln(1+x) \sim \dfrac{x^2}{2}ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

这一组最容易翻车。看到 tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin x，直觉会写成 x−x=0x-x=0，但那等于把还没抵消干净的部分直接抹掉了。它其实跟 x3/2x^3/2 同阶，除以 x3x^3 之后极限是 1/21/2。

四、复合形式

只要里面的东西也在往 0 跑，上面整张表都能照搬，不用管它是 xx 还是 3x23x^2：

sin⁡u∼u,tan⁡u∼u,eu−1∼u,ln⁡(1+u)∼u,1−cos⁡u∼u22 \sin u \sim u,\quad \tan u \sim u,\quad e^{u}-1 \sim u,\quad \ln(1+u) \sim u,\quad 1-\cos u \sim \frac{u^2}{2}

例如 x→0x \to 0 时 sin⁡(3x2)∼3x2\sin(3x^2) \sim 3x^2，e−x2−1∼−x2e^{-x^2}-1 \sim -x^2，ln⁡(1+sin⁡x)∼sin⁡x∼x\ln(1+\sin x) \sim \sin x \sim x。

两个条件缺一不可：里面的式子确实趋于 0；换完之后，它仍然待在乘除的位置上。

五、例题

看几道题，体会一下“换”能省多少事。

例 1　lim⁡x→0tan⁡3xsin⁡5x\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan 3x}{\sin 5x}

分子分母都只是乘除，直接换：

lim⁡x→03x5x=35 \lim_{x\to 0}\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}

例 2　lim⁡x→01−cos⁡xxsin⁡x\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\sin x}

1−cos⁡xxsin⁡x∼x2/2x⋅x=12 \frac{1-\cos x}{x\sin x}\sim \frac{x^2/2}{x\cdot x}=\frac{1}{2}

例 3　lim⁡x→0e2x−1ln⁡(1+3x)\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\ln(1+3x)}

e2x−1ln⁡(1+3x)∼2x3x=23 \frac{e^{2x}-1}{\ln(1+3x)}\sim\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}

例 4　lim⁡x→01+x−1x\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}

用 (1+x)1/2−1∼x/2(1+x)^{1/2}-1 \sim x/2：

lim⁡x→0x/2x=12 \lim_{x\to 0}\frac{x/2}{x}=\frac{1}{2}

例 5　lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}

加减不能分别替换，要展开到三阶：

tan⁡x−sin⁡x∼x32⟹lim⁡x→0x3/2x3=12 \tan x-\sin x\sim\frac{x^3}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to 0}\frac{x^3/2}{x^3}=\frac{1}{2}

例 6　lim⁡x→0ln⁡(1+x2)1−cos⁡x\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}

ln⁡(1+x2)1−cos⁡x∼x2x2/2=2 \frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}\sim\frac{x^2}{x^2/2}=2

例 7　lim⁡x→0(1+x)1/3−1sin⁡2x\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/3}-1}{\sin 2x}

x32x=16 \frac{\frac{x}{3}}{2x}=\frac{1}{6}

例 8　lim⁡x→0x−sin⁡xxtan⁡x\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x\tan x}

分母 tan⁡x∼x\tan x \sim x，所以整体是 (x−sin⁡x)/x2(x-\sin x)/x^2。此时 x−sin⁡x∼x3/6x-\sin x \sim x^3/6 比 x2x^2 高阶，极限为 00。

六、使用顺序

拿到题不要闷头就换，按下面这个顺序试，大多数题三步之内就有结果：

  1. 先代进去看一眼，分子分母是不是都为 0，确认它是 0/0。
  2. 能因式分解、有理化、通分的，先把式子整理干净。
  3. 找出乘除位置上的无穷小，整个换成最低阶的那个简单函数。
  4. 换完还是 0/0，说明一阶抵消了，翻高阶表，或者直接上泰勒。
  5. 这些都不行再用洛必达——注意洛必达求完，往往还得再换一次。

七、常见错误

  • 在加减里硬换：把 tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin x 换成 x−xx-x，得到 0。错就错在这两项还有没抵消完的部分。
  • 没管内层去不去 0：x→1x\to 1 时把 ln⁡x\ln x 当成 xx，这就错了；应该先凑成 ln⁡x=ln⁡(1+(x−1))∼x−1\ln x=\ln(1+(x-1))\sim x-1。
  • 只换一半：分子换了、分母还是原样，两边阶数对不上，算出来必错。
  • 把 x→∞x\to\infty 的结论搬过来：上面整张表都是 x→0x\to 0 的。x→∞x\to\infty 时一般先想办法弄出个 1/x→01/x\to 0，再用表。
  • 拿它去算非零极限：替换只保证比值趋向 1，原式极限不为 0 时，换完常数因子可能就变了——比如 sin⁡x+1\sin x+1 不能写成 x+1x+1。

八、一张速查卡

考前扫一眼用，按阶数排好了：

阶数常用等价式
一阶sin⁡x∼x\sin x\sim x、tan⁡x∼x\tan x\sim x、arcsin⁡x∼x\arcsin x\sim x、arctan⁡x∼x\arctan x\sim x
一阶ex−1∼xe^x-1\sim x、ax−1∼xln⁡aa^x-1\sim x\ln a、ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x)\sim x、log⁡a(1+x)∼x/ln⁡a\log_a(1+x)\sim x/\ln a
一阶(1+x)α−1∼αx(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x、1+xn−1∼x/n\sqrt[n]{1+x}-1\sim x/n
二阶1−cos⁡x∼x2/21-\cos x\sim x^2/2、sec⁡x−1∼x2/2\sec x-1\sim x^2/2
三阶tan⁡x−sin⁡x∼x3/2\tan x-\sin x\sim x^3/2、x−sin⁡x∼x3/6x-\sin x\sim x^3/6、tan⁡x−x∼x3/3\tan x-x\sim x^3/3
三阶x−arctan⁡x∼x3/3x-\arctan x\sim x^3/3、arcsin⁡x−x∼x3/6\arcsin x-x\sim x^3/6、x−ln⁡(1+x)∼x2/2x-\ln(1+x)\sim x^2/2

这张表背下来，再配上“乘除可换、加减展开”这条判断，绝大多数 0/0 的题两三步就能出结果。