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三角函数与反三角函数求导全表

2026-10-18 6062 字 13 分钟
#数学#高数#导数

三角函数的导数就那么十几个，可正负号、平方、根号一多，特别容易记串。下面把六个三角函数、六个反三角函数挨个过一遍，每个都配上公式、图像和一段推导。推导可以先不看，但哪天真忘了，点开看看它是怎么来的，比死背管用。

前置：两个基本极限

所有推导都从这两个极限起步。别被写法吓到，它们其实就是 sin⁡x∼x\sin x\sim x 和 1−cos⁡x∼x2/21-\cos x\sim x^2/2 的另一种说法：

lim⁡x→0sin⁡xx=1lim⁡x→01−cos⁡xx2=12 \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

第一个就是 sin⁡x∼x\sin x\sim x 的出处；第二个把 1−cos⁡x1-\cos x 写成 2sin⁡2(x/2)2\sin^2(x/2) 就能推出来。

一、基本三角函数

正弦函数 sin x

(sin⁡x)′=cos⁡x (\sin x)'=\cos x
y = sin x　周期 2π，值域 [-1,1]
推导：和差化积 + 第一个重要极限

按导数定义：

(sin⁡x)′=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡xh (\sin x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}

用和差化积公式：

sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡ ⁣(A+B2)sin⁡ ⁣(A−B2) \sin A-\sin B=2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right)
sin⁡(x+h)−sin⁡x=2cos⁡(x+h2)sin⁡h2 \sin(x+h)-\sin x=2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}

于是

(sin⁡x)′=lim⁡h→0cos⁡(x+h2)⋅sin⁡(h/2)h/2=cos⁡x⋅1=cos⁡x (\sin x)'=\lim_{h\to 0}\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin(h/2)}{h/2} =\cos x\cdot 1=\cos x

最后一步用了第一个重要极限 sin⁡t∼t\sin t\sim t（令 t=h/2t=h/2），以及 cos⁡\cos 的连续性。

余弦函数 cos x

(cos⁡x)′=−sin⁡x (\cos x)'=-\sin x
y = cos x　由 sin x 左移 π/2 得到
推导：两种写法

写法一（定义法）：同样用和差化积 cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡ ⁣(A+B2)sin⁡ ⁣(A−B2)\cos A-\cos B=-2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right)：

(cos⁡x)′=lim⁡h→0cos⁡(x+h)−cos⁡xh=lim⁡h→0[−sin⁡(x+h2)⋅sin⁡(h/2)h/2]=−sin⁡x (\cos x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} =\lim_{h\to 0}\left[-\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right] =-\sin x

写法二（复合函数）：由 cos⁡x=sin⁡(π/2−x)\cos x=\sin(\pi/2-x) 与链式法则：

(cos⁡x)′=cos⁡(π2−x)⋅(−1)=−sin⁡x (\cos x)'=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot(-1)=-\sin x

两种写法结果一致。注意负号：cos⁡\cos 在 x=0x=0 处是减函数。

正切函数 tan x

(tan⁡x)′=sec⁡2x=1cos⁡2x=1+tan⁡2x (\tan x)'=\sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x
y = tan x　在 x = π/2 + kπ 处有竖直渐近线
推导：商的求导法则

把 tan⁡x\tan x 写成 sin⁡xcos⁡x\dfrac{\sin x}{\cos x}，用 (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}：

(tan⁡x)′=cos⁡x⋅cos⁡x−sin⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x=sec⁡2x (\tan x)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x

再由 1cos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1+tan⁡2x\dfrac{1}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x，得到另一个常用形式。

余切函数 cot x

(cot⁡x)′=−csc⁡2x=−1sin⁡2x=−(1+cot⁡2x) (\cot x)'=-\csc^2 x=-\frac{1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)
y = cot x　在 x = kπ 处有竖直渐近线，周期 π
推导：商的求导法则

把 cot⁡x\cot x 写成 cos⁡xsin⁡x\dfrac{\cos x}{\sin x}：

(cot⁡x)′=(−sin⁡x)sin⁡x−cos⁡x⋅cos⁡xsin⁡2x=−(sin⁡2x+cos⁡2x)sin⁡2x=−1sin⁡2x=−csc⁡2x (\cot x)'=\frac{(-\sin x)\sin x-\cos x\cdot\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)}{\sin^2 x} =-\frac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x

与 tan⁡\tan 的结果只差一个负号——这正是“余函数求导带负号”的由来。

正割函数 sec x

(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x=sin⁡xcos⁡2x (\sec x)'=\sec x\tan x=\frac{\sin x}{\cos^2 x}
y = sec x　值域 (-∞,-1] ∪ [1,+∞)
推导：倒数 + 链式法则

sec⁡x=1cos⁡x=(cos⁡x)−1\sec x=\dfrac{1}{\cos x}=(\cos x)^{-1}，用 (u−1)′=−u−2u′\left(u^{-1}\right)'=-u^{-2}u'：

(sec⁡x)′=−(cos⁡x)−2⋅(−sin⁡x)=sin⁡xcos⁡2x=1cos⁡x⋅sin⁡xcos⁡x=sec⁡xtan⁡x (\sec x)'=-(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) =\frac{\sin x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} =\sec x\tan x

直观理解：sec⁡\sec 在 x=0x=0 附近取最小值 1，两侧都上升，所以导数为 0，与 sec⁡0tan⁡0=0\sec 0\tan 0=0 相符。

余割函数 csc x

(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x=−cos⁡xsin⁡2x (\csc x)'=-\csc x\cot x=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}
y = csc x　值域 (-∞,-1] ∪ [1,+∞)
推导：倒数 + 链式法则

csc⁡x=(sin⁡x)−1\csc x=(\sin x)^{-1}：

(csc⁡x)′=−(sin⁡x)−2⋅cos⁡x=−cos⁡xsin⁡2x=−1sin⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=−csc⁡xcot⁡x (\csc x)'=-(\sin x)^{-2}\cdot\cos x =-\frac{\cos x}{\sin^2 x} =-\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} =-\csc x\cot x

四个“割/切”函数可以一起记：tan⁡→sec⁡2\tan\to\sec^2，cot⁡→−csc⁡2\cot\to-\csc^2，sec⁡→sec⁡tan⁡\sec\to\sec\tan，csc⁡→−csc⁡cot⁡\csc\to-\csc\cot。

二、反三角函数

反函数的导数不需要重新推极限，用反函数求导公式即可：

(f−1)′(y)=1f′(x),y=f(x) \left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'(x)},\qquad y=f(x)

前提是 f′(x)≠0f'(x)\neq 0。

反正弦函数 arcsin x

(arcsin⁡x)′=11−x2,∣x∣<1 (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad |x|<1
y = arcsin x　定义域 [-1,1]，值域 [-π/2, π/2]
推导：反函数求导

设 y=arcsin⁡xy=\arcsin x，则 x=sin⁡yx=\sin y，且 y∈(−π2,π2)y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)。

先对 yy 求导：dx/dy=cos⁡ydx/dy=\cos y。在这个区间里 cos⁡y>0\cos y>0，所以

cos⁡y=1−sin⁡2y=1−x2 \cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}

于是

dydx=1dx/dy=1cos⁡y=11−x2 \frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

为什么必须取正根：arcsin⁡\arcsin 的值域限制在 (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)，这段上 cos⁡y\cos y 恒正；若不限制值域，\sqrt{} 前就要带 ±\pm。

反余弦函数 arccos x

(arccos⁡x)′=−11−x2,∣x∣<1 (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad |x|<1
y = arccos x　定义域 [-1,1]，值域 [0, π]
推导：反函数求导 / 恒等式

方法一：设 y=arccos⁡xy=\arccos x，则 x=cos⁡yx=\cos y，y∈(0,π)y\in(0,\pi)，这段上 sin⁡y>0\sin y>0：

dxdy=−sin⁡y=−1−cos⁡2y=−1−x2 \frac{dx}{dy}=-\sin y=-\sqrt{1-\cos^2 y}=-\sqrt{1-x^2}
dydx=1−1−x2=−11−x2 \frac{dy}{dx}=\frac{1}{-\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

方法二：由 arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}，两边求导立刻得到

(arccos⁡x)′=−(arcsin⁡x)′=−11−x2 (\arccos x)'=-(\arcsin x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

方法二更快，也解释了为什么两者只差一个负号。

反正切函数 arctan x

(arctan⁡x)′=11+x2,x∈(−∞,+∞) (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2},\qquad x\in(-\infty,+\infty)
y = arctan x　值域 (-π/2, π/2)，有两条水平渐近线
推导：反函数求导

设 y=arctan⁡xy=\arctan x，则 x=tan⁡yx=\tan y，y∈(−π2,π2)y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)。

dxdy=sec⁡2y=1+tan⁡2y=1+x2 \frac{dx}{dy}=\sec^2 y=1+\tan^2 y=1+x^2

所以

dydx=11+x2 \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}

注意这里没有根号，也没有定义域限制：arctan⁡\arctan 在整个实数轴上可导。

从图像也能看出来：曲线在两端趋平，导数趋于 0，与 11+x2\frac{1}{1+x^2} 在 x→±∞x\to\pm\infty 时趋于 0 一致；在原点斜率最大，等于 1。

反余切函数 arccot x

(arccot⁡x)′=−11+x2,x∈(−∞,+∞) (\operatorname{arccot} x)'=-\frac{1}{1+x^2},\qquad x\in(-\infty,+\infty)
y = arccot x　值域 (0, π)，单调递减
推导：反函数求导 / 恒等式

设 y=arccot⁡xy=\operatorname{arccot} x，则 x=cot⁡yx=\cot y，y∈(0,π)y\in(0,\pi)：

dxdy=−csc⁡2y=−(1+cot⁡2y)=−(1+x2) \frac{dx}{dy}=-\csc^2 y=-\left(1+\cot^2 y\right)=-\left(1+x^2\right)
dydx=−11+x2 \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}

也可以用恒等式 arctan⁡x+arccot⁡x=π2\arctan x+\operatorname{arccot} x=\dfrac{\pi}{2} 直接求导，与方法一相同。

顺带提一句：arccot⁡\operatorname{arccot} 的值域，不同教材约定不一样，有的取 (0,π)(0,\pi)，有的取 (−π2,0)∪(0,π2]\left(-\frac{\pi}{2},0\right)\cup\left(0,\frac{\pi}{2}\right]。这篇按 (0,π)(0,\pi) 来，画出来就是从 π\pi 一路降到 0 的一条曲线；换成另一种约定，导数会差一个符号，做题前先看清用的是哪套。

反正割函数 arcsec x

(arcsec⁡x)′=1∣x∣x2−1,∣x∣>1 (\operatorname{arcsec} x)'=\frac{1}{\vert x\vert\sqrt{x^2-1}},\qquad \vert x\vert>1
y = arcsec x　定义域 |x| ≥ 1，值域 [0, π/2) ∪ (π/2, π]
推导：复合函数（arcsec x = arccos(1/x)）

最省事的办法是先换成已知函数。由 sec⁡y=x\sec y=x 得 cos⁡y=1/x\cos y=1/x，所以

arcsec⁡x=arccos⁡1x \operatorname{arcsec} x=\arccos\frac{1}{x}

用链式法则，外层导数是 −11−u2-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}，内层 u=1/xu=1/x 的导数是 −1/x2-1/x^2：

(arcsec⁡x)′=−11−1/x2⋅(−1x2)=1x21−1/x2 (\operatorname{arcsec} x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-1/x^2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) =\frac{1}{x^2\sqrt{1-1/x^2}}

把根号里的式子通分：1−1/x2=x2−1∣x∣\sqrt{1-1/x^2}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{\vert x\vert}，代入得

(arcsec⁡x)′=1x2⋅∣x∣x2−1=1∣x∣x2−1 (\operatorname{arcsec} x)'=\frac{1}{x^2}\cdot\frac{\vert x\vert}{\sqrt{x^2-1}} =\frac{1}{\vert x\vert\sqrt{x^2-1}}

为什么要加绝对值：x<−1x<-1 时 arcsec⁡\operatorname{arcsec} 取的是第Ⅱ象限的值，直接写 xx2−1x\sqrt{x^2-1} 会得到负的导数，与实际图像（那一段是递增的）矛盾。

反余割函数 arccsc x

(arccsc⁡x)′=−1∣x∣x2−1,∣x∣>1 (\operatorname{arccsc} x)'=-\frac{1}{\vert x\vert\sqrt{x^2-1}},\qquad \vert x\vert>1
y = arccsc x　定义域 |x| ≥ 1，值域 [-π/2, 0) ∪ (0, π/2]
推导：复合函数（arccsc x = arcsin(1/x)）

同理由 csc⁡y=x\csc y=x 得 sin⁡y=1/x\sin y=1/x：

arccsc⁡x=arcsin⁡1x \operatorname{arccsc} x=\arcsin\frac{1}{x}
(arccsc⁡x)′=11−1/x2⋅(−1x2)=−1∣x∣x2−1 (\operatorname{arccsc} x)'=\frac{1}{\sqrt{1-1/x^2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) =-\frac{1}{\vert x\vert\sqrt{x^2-1}}

结果与 arcsec⁡\operatorname{arcsec} 只差一个负号——和 arcsin⁡\arcsin 与 arccos⁡\arccos 的关系一致。

三、总表

函数导数定义域
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x全体实数
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x全体实数
tan⁡x\tan xsec⁡2x\sec^2 xx≠π2+kπx\neq \frac{\pi}{2}+k\pi
cot⁡x\cot x−csc⁡2x-\csc^2 xx≠kπx\neq k\pi
sec⁡x\sec xsec⁡xtan⁡x\sec x\tan xx≠π2+kπx\neq \frac{\pi}{2}+k\pi
csc⁡x\csc x−csc⁡xcot⁡x-\csc x\cot xx≠kπx\neq k\pi
arcsin⁡x\arcsin x11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}∣x∣<1\vert x\vert<1
arccos⁡x\arccos x−11−x2-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}∣x∣<1\vert x\vert<1
arctan⁡x\arctan x11+x2\dfrac{1}{1+x^2}全体实数
arccot⁡x\operatorname{arccot} x−11+x2-\dfrac{1}{1+x^2}全体实数
arcsec⁡x\operatorname{arcsec} x1∣x∣x2−1\dfrac{1}{\vert x\vert\sqrt{x^2-1}}∣x∣>1\vert x\vert>1
arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x−1∣x∣x2−1-\dfrac{1}{\vert x\vert\sqrt{x^2-1}}∣x∣>1\vert x\vert>1

四、怎么记

先说结论：这批导数不用一个个硬背，按下面几条归类，很快就顺了。

基本三角函数里，sin⁡\sin 和 cos⁡\cos 最省事——连着求四次导，转一圈又回到自己：

sin⁡→cos⁡→−sin⁡→−cos⁡→sin⁡ \sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin

另外四个（割和切）分两组记，一组全正，一组全负：

  • tan⁡→sec⁡2\tan \to \sec^2，sec⁡→sec⁡tan⁡\sec \to \sec\tan（都带正号，且都出现 sec⁡\sec）
  • cot⁡→−csc⁡2\cot \to -\csc^2，csc⁡→−csc⁡cot⁡\csc \to -\csc\cot（都带负号，且都出现 csc⁡\csc）

反三角函数的导数清一色是分数，分母只有两种样子：

  • 根号型 1−x2\sqrt{1-x^2}：arcsin⁡\arcsin 正、arccos⁡\arccos 负
  • 多项式型 1+x21+x^2：arctan⁡\arctan 正、arccot⁡\operatorname{arccot} 负

符号规律：正函数（sin⁡,tan⁡,sec⁡,arcsin⁡,arctan⁡\sin,\tan,\sec,\arcsin,\arctan）求导取正，余函数（cos⁡,cot⁡,csc⁡,arccos⁡,arccot⁡\cos,\cot,\csc,\arccos,\operatorname{arccot}）一律带负号。单个记不清的时候，先看它是不是“余”字辈。

五、常见错误

  • 漏掉 arccos⁡\arccos 的负号：它跟 arcsin⁡\arcsin 只差一个符号，考试里最常丢分的就是这里。
  • 把 arctan⁡\arctan 的分母写成 1+x1+x：是 1+x21+x^2，少了个平方就全错了。
  • 在 x=±1x=\pm 1 处套 arcsin⁡\arcsin 的公式：那里 1−x2\sqrt{1-x^2} 等于 0，导数根本不存在，曲线是竖直的。
  • 忽略 tan⁡\tan 的间断点：tan⁡\tan 在 x=π/2+kπx=\pi/2+k\pi 处没有导数，公式只能在这些点之外用。
  • 对 sec⁡2x\sec^2 x 再求导时少乘一项：(sec⁡2x)′=2sec⁡2xtan⁡x(\sec^2 x)'=2\sec^2 x\tan x，得用链式法则，不是简单的 2sec⁡x2\sec x。

六、顺带一提：二阶导

做题时经常要往下再求一次，下面这几个出现得最多，顺手记一下：

(sin⁡x)′′=−sin⁡x,(cos⁡x)′′=−cos⁡x (\sin x)''=-\sin x,\qquad (\cos x)''=-\cos x
(tan⁡x)′′=2sec⁡2xtan⁡x,(arctan⁡x)′′=−2x(1+x2)2 (\tan x)''=2\sec^2 x\tan x,\qquad (\arctan x)''=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}
(arcsin⁡x)′′=x(1−x2)3/2 (\arcsin x)''=\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}